آموزش ریاضیات پایه مبحث سری ها و انوع آن ها:

اگر رشته ی اعداد یک دنباله را با هم جمع کنیم یک سری ایجاد خواهد شد.در ابتدا به معرفی برخی خواص سیگما می پردازیم:

شرط لازم برای همگرایی سری ها:

شرط لازم برای همگرایی آن ها این است که حد بینهایت جمله ی عمومی آن ها صفر باشد.

توجه:اعداد یا عبارات بین 1 و 1- اگر به توان بینهایت برسند حاصل آن ها صفر می شود.

ممکن است سری شرط لازم برای همگرایی را داشته باشد اما واگرا باشد.

نکاتی در خصوص تصاعد هندسی:

هرگاه رشته ای از اعداد طوری بدنبال هم قرار بگیرند که حاصل تقسیم هر دو جمله ی متوالی مقداری ثابت باشد آن رشته تشکیل یک تصاعد هندسی داده که قدر نسبت آن همان مقدار ثابت خواهد بود.قدر نسبت را با r نمایش می دهیم.

هرگاه در تصاعد هندسی قدر نسبت بین 1 و 1- باشد حد مجموع جملات از رابطه ی زیر محاسبه می شود.

سری همساز یا هارمونیک:

صورت کلی سری های همساز یا هارمونیک به فرم می باشد و معروفترین آن ها سری می باشد که با وجودیکه شرط لازم برای همگرایی را دارند ولی واگرا هستند.

آموزش دنباله های ریاضی:

دنباله چیست:

دنباله های رشته هایی از اعداد هستند که طبق قانون مشخص یا دستور مشخصی (an) بدنبال هم قرار می گیرند.در دنباله ها دامنه  مجموعه ی اعداد طبیعی و برد زیر مجموعه ای از اعداد حقیقی است.

به نحوه ی پیشروی اعداد زیر توجه کنید:

با توجه نحوه ی پیشروی اعدا بالا این اعداد را دنباله ی معکوس اعداد طبیعی می نامیم و جمله ی عمومی دنباله را بصورت زیر نمایش می دهیم:

دنباله های همگرا و واگرا:

اگر حد دنباله ای را در بینهایت بگیریم  و حاصل این حد فقط یک عدد با پایان و مشخص باشد (L) آن گاه دنباله را همگرا به آن عدد (L) می گوییم.

در حالت دیگر یعنی در صورتیکه این حد بیش از یک عدد باشد یا حاصل این حد بی نهایت شود آنگاه دنباله را واگرا می گوییم.

دنباله های کراندار و بیکران:

اگر دنباله ای هر دو کران بالا و پایین را داشته باشد کراندار است و اگر دنباله ای یکی از این دو کران را داشته باشد کراندار نیست.برای محاسبه ی کران بالا و کران پایین یک دنباله یک بار حد بینهایت را محاسبه می کنیم و یک بار n=1 محاسبه می نماییم.عدد بزرگ بدست آمده کران بالا ئ عدد کوچک کران پایین خواهد بود.

توجه:اگر دنباله ای همگرا باشد قطعا کراندار است ولی عکس این قضیه الزاما صحیح نیست.یعنی دنباله می تواند کراندار باشد ولی همگرا نباشد.

توجه:در دنباله ها و هم ارز هستن,یعنی بجای هرکدام از دیگری می توان استفاده نمود.

دنباله های صعودی و نزولی:

اگر تمام رشته های اعدا دنباله ای رو به افزایش باشند.دنباله را صعودی و اگر تمام جمله های دنباله ای کاهشی باشند دنباله را نزولی گویند.اگر برخی از جملات دنباله ای کاهشی باشند دنباله را نزولی می نامیم.اگر برخی از جملات افزایشی و برخی کاهشی باشند دنباله را نه صعودی  و نه نزولی  و یا هم صعودی و هم نزولی گویند.

اگر دنباله ای صعودی باشد و یا نزولی باشد آن دنباله را یکنوا می گویند و در غیر اینصورت آن دنباله را غیر یکنوا می گویند.

برای تشخیص صعودی یا نزولی بودن دنباله ای می توانیم از دنبال مشتق بگیریم و مشتق آن را تعیین علامت کنیم.در صورتیکه مشتق دنباله همواره مثبت باشد دنباله صعودی و در صورتیکه مشتق دنباله همواره منفی باشد دنباله نزولی خواهد بود.

همچنین می توان اعدا طبیعی را بترتیب بجای n قرار داد در صورتیکه دنباله رشد کند صعودی و در صورتیکه کاهش یابد نزولی خواهد بود.

تهیه شده توسط آبشاران دات کام

اگر A و B دو محموعه باشند آنگاه حاصلضرب دکارتی آن ها را به صورت نمایش می دهیم و نمایش ریاضی حاصلضرب دکارتی دو مجموعه به صورت زیر می باشد:

={(X,Y)|XA,YB}

در ضرب دکارتی با برابر نمی باشد و نمایش ریاضی آن به صورت زیر می باشد:

={(X,Y)|XB,YA}

تهیه شده توسط آبشاران دات کام

تفاضل دو مجموعه عبارت است از عضوهایی که در مجموعه ی اول بوده ولی در مجموعه ی دوم نباشد.مجموعه ی A-B یعنی عضوهایی از A که در B وجود نداشته باشد.تعریف ریاضی تفاضل دو مجموعه به صورت زیر می باشد.

A-B={X|XB,XB}

خواص تفاضل دو مجموعه:

تهیه شده توسط آبشاران دات کام

تعریف:اشتراک دو مجموعه,عبارت از مجموعه ای است که شامل عناصر مشترک دو مجموعه باشد.اشتراک بین دو مجموعه A و B را به صورت نمایش می دهیم.نمایش ریاضی اشتراک بین دو مجموعه به صورت زیر می باشد:

={XAو XB}

خواص اشتراک بین دو مجموعه:

تهیه شده توسط آبشاران دات کام

در صورتیکه تعداد اعضای دو مجموعه با هم برابر باشند,دو مجموعه را هم ارز یا متناظر می گویند و اگر دو مجموعه ی هم ارز عضوهایشان نسبت به هم یک به یک برابر باشند دو مجموعه را مساوی می نامیم و اگر دو مجموعه هیچ عضو مشترک نداشته باشندآن ها را جدا از هم می نامیم.

اجتماع دو مجموعه:

اجتماع دو مجموعه ی A و B که به صورت نمایش داده می شود,مجموعه ای است که عناصر آن یا عضوی از A هستند یا عضوی از B می باشند.طرز نمایش اجتماع دو مجموعه به زبان ریاضی به شکل زیر می باشد:

={X|XAیاXB}

خواص اجتماع دو مجموعه:

تهیه شده توسط آبشاران دات کام

متمم مجموعه ای مثل A,تمام اعضای متعلق به مجموعه ی مرجع به غیر از اعضای متعلق به مجموعه ی A,می باشد.متمم مجموعه ی A را با ‘A نشان داده می شود.به عنوان مثال متمم مجموعه ی A در نمودار ون زیر با هاشور نشان داده شده است:

A’={X|XM,XA}

خواص متمم یک مجموعه:

تهیه شده توسط آبشاران دات کام

اگر مجموعه ای به نام A داشته باشیم,به هر مجموعه که تمام اعضای آن در A موجود است یک زیر مجموعه از مجموعه A می گوییم.

هر مجموعه زیر مجموعه ی خودش محسوب می شود.

مجموعه ی تهی زیر تمام مجموعه ها می باشد.

تعداد زیر مجموعه های هر مجموعه که دارای n عضو است برابر می باشد.

تعداد زیر مجموعه های محض هر مجموعه 1- می باشد که در آن خود مجموعه از تعداد زیر مجموعه های کم می شود.

اگر A زیر مجموعه B باشد و B زیر مجموعه ی C باشد می توان نتیجه گرفت A زیر مجموعه C است.

تهیه شده توسط آبشاران دات کام

تعریف مجموعه:

به گروه مشخصی از اشیاء یا عناصرمجموعه می گوییم,به عبارت دیگر مجموعه ,دسته ای از اشیاء یا حروف یا اعداد و…. که در خاصیتی مشترک هستند می باشد,مانند مجموعه ی اعداد فرد.

برای نمایش تعلق یک عضو به یک مجموعه از علامت استفاده می کنیم و اگر عضو متعلق به مجموعه نباشداز نماد استفاده می نماییم.

مجموعه ی مرجع (جهانی):

مجموعه ای است مشتمل بر تمام عناصر که برخی از این عناصر در موضوعی خاص,مد نظر هستند.این مجموعه با M نمایش داده می شود.به عنوان مثال,اگر نمودار ون زیر را داشته باشیم,این نمودار یک مجموعه ی مرجع,یا مجموعه ی جهانی نسبت به مجموعه های A و B تلقی می شود.چون تمام عناصر مجموعه های A و B که در زیر نشان داده شده اند در این مجموعه وجود دارند.

A={3,7}

B={1,2,4}

مجموعه ی تهی:

مجموعه ای است که فاقد عضو می باشد.مجموعه ی تهی را با علامت یا {} نمایش می دهیم.به عنوان مثال اگر مجموعه ی جهانی M را در نظر داشته باشیم:

M={1,2,3,…,10}

اگر بخواهیم مجموعه ی A را مطابق با مجموعه ی جهانی M نشان دهیم,مجموعه ی A یک مجموعه ی تهی را تشکیل خواهد داد,به این دلیل که اعضای A در M وجود ندارند.

A={}

A=

تهیه شده توسط آبشاران دات کام